Une dernière étude, le cas n = 7

 

Étude ''par a + b''  du cas n =7 :

                                                          a⁷ + b⁷ = c⁷    (1) 

                                          et             a + b = c + d    (2)

On a toujours 0 < d < a < b < c puisque a + b > c

Élevons les deux membres de l’égalité (2) à la puissance 7  

(a+b)⁷ = a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7ab⁶ + b⁷ (2)’

égale 

(c+d)⁷ = c⁷ + 7c⁶d + 21c⁵d² + 35c⁴d³ + 35c³d⁴ + 21c²d⁵ + 7cd⁶ + d⁷ (2)’’

   Après simplification en tenant compte de (1) et mise en facteur des

 produits  ab et cd , on obtient :

             7ab(a⁵ + 3a⁴b + 5a³b² + 5a²b³ + 3ab⁴ + b⁵)   (équation 2a)   =

             7cd(c⁵ + 3c⁴d + 5c³d² + 5c²d³ + 5cd⁴ + d⁵) + d⁷ (2b)

On s’aperçoit que les deux polynômes entre parenthèses (2a) et (2b)

    sont des développements incomplets de (a+b)⁵ et (c+d)⁵

Donc on peut écrire :

             (2a)’ = 7ab[(a+b)⁵ – 2a⁴b – 5a³b² -5a²b³ – 2ab⁴] =

             (2b)’ = 7cd[(c+d)⁵ – 2c⁴d – 5c³d² – 5c²d³ – 2cd⁴] + d⁷

Maintenant on peut mettre les produits ab et cd en facteur :

             (2a)’’= 7ab[(a+b)⁵ – ab(2a³ + 5a²b + 5ab² + 2b³)] =

             (2b)’’ = 7cd[(c+d)⁵ – cd(2c³ + 5c²d + 5cd² + 2d³)] + d⁷

On constate maintenant que les deux polynômes entre parenthèses sont des

     développements incomplets de 2(a+b)³ et 2(c+d)³

On peut donc écrire :

              (2a)’’’ = 7ab[(a+b)⁵ - ab{2(a+b)³ – ab(a+b)}] =

              (2b)’’’ = 7cd[(c+d)⁵ - cd{2(c+d)³ – cd(c+d)}] + d⁷

Remplaçons a+b par c+d, et mettons (c+d) en facteur ; on obtient :

              7ab(c+d)[(c+d)⁴ – ab{2(c+d)² – ab}] =

              7cd(c+d)[(c+d)⁴ - cd{2(c+d)² – cd}] + d⁷

On s’aperçoit que 7(c+d) , produit de facteurs apparaissant dans deux des

 trois membres de l’égalité, doit diviser le troisième membre qui est d⁷

Cela nous ramène à l’étude de   d⁷ / 7(c+d)  entier, étude similaire à celle

réalisée pour la puissance n = 3 abordée précédemment (Étude en cours) 

     Et si le rapport   d⁷ / 7(c+d)   est égal à 1, on a :

                  ab[(c+d)⁴ – ab{2(c+d)² – ab}] =

                  cd[(c+d)⁴ - cd{2(c+d)² – cd}] + 1

    soit :

          (ab - cd)(c + d)⁴ – (a²b² – c²d²).2.(c + d)² – (a²b² - c²d²) = 1

ou encore :

(ab - cd)(c + d)⁴ – 2(ab – cd)(ab +cd)(c + d)² - (ab – cd)(ab + cd) = 1

    Le terme (ab-cd) , étant commun à trois des quatre membres de l’égalité 

ci-dessus, doit diviser le quatrième membre, qui est 1

      Donc ab – cd = 1 (3)

Pour rappel, on a 0 < d < a < b < c , donc il existe x, y et z tous entiers et

    non nuls tels que :

            a = d+x , b = d+y  et  c = d+z

(2) devient alors : d+x  +  d+y  =  d+z + d

   soit : 

         x + y = z

et (3) devient :

         ab - cd =  (x + d)(y + d) - (z + d)d = 1

soit :

              xy + xd + dy + d² - zd - d² = 1

              d(x + y) + xy - dz = 1

     or     x+y = z

donc     dz + xy - dz = 1

soit :      xy = 1

Comme on est dans IN l’ensemble des entiers, la seule solution à cette

    équation est

               x = y = 1

Ce qui entraînerait  a = b , et  a³ + a³ = c³ , ce qui est impossible.

                (État actuel de l'étude)