Une équation vraiment modulaire !
L'étude est faite sur l'équation du troisième degré pour rester simple.
Une piste a dernièrement été ouverte dans
l'étude de a3 + b3 = c3 (1)
Tout a commencé en cherchant à écrire un cube d'un nombre
entier a strictement positif en fonction de son précédent et de
son suivant dans IN
Quelle relation entre eux et le cube de a ?
Effectuons le produit de ces trois nombres :
(a-1)a(a+1) = (a-1)(a+1)a = (a2-1)a = a3- a
Donc a3 = (a-1)a(a+1) + a et (1) s'écrit :
(a-1)a(a+1) + a + (b-1)b(b+1) + b = (c-1)c(c+1) + c (1')
On peut constater que si a3 + b3 = c3 alors
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 > a3 + b3 ,
donc (a + b)3 > c3 , c'est-à-dire que a+b > c
Alors il existe d entier positif non nul tel que a+b = c+d , avec
0<d<a<b<c et après avoir remplacé a+b par c+d dans (1')
(1') devient :
(a-1)a(a+1) + c + (b-1)b(b+1) + d = (c-1)c(c+1) +c
qui se simplifie en :
(a-1)a(a+1) + (b-1)b(b+1) + d = (c-1)c(c+1) (2)
Et là on peut commencer une étude de (2) en
fonction des multiples de 2
On constate dans (1) qu'une seule des trois variables peut être paire.
Soit a et b sont impaires et c est alors paire, soit a est paire et b et c
sont impaires ( ou b paire et a et c impaires).
Posons : a nombre pair . Alors b et c sont impairs
Posons A = (a-1)a(a+1) , B =(b-1)b(b+1) , et C = (c-1)c(c+1) .
[ Remarque : on constate aussi que lorsque 3 nombres entiers se
suivent il y a en obligatoirement un qui est un multiple de 3. Ainsi
A,B et C sont des multiples de 3, et par voie de conséquence, d est
aussi un multiple de 3 ]
(b-1) , (b+1) , (c-1) , (c+1) sont des nombres pairs.
En passant on constate que d est donc pair, donc multiple de 6.
Mais à quelle puissance minimale est le facteur 2 dans le nombre
produit (b-1)(b+1) ?
Au minimum, si b-1 est égal à 2i avec i nombre impair, alors
b+1 = 2i + 2 = 2(i+1) , mais i étant impair, i+1 est au minimum un
multiple de 2. Alors b+1 est un multiple de 4 au minimum.
Donc B est au minimun un multiple de 8 .
Même raisonnement avec C, qui sera au minimum un multiple de 8.
Posons B=8.B' et C=8.C' , B' et C' impairs
Comme la somme A+B+d = C = 8C' = A+8B'+d , alors
A+d est un multiple de 8 .
Là ça commence à devenir très complexe, car il y a beaucoup de
possibilités concernant les puissances de 2 composant chacun de ces
deux nombres A et d, avec la somme de ces deux nombres donnant un
multiple de 8.
Par exemple si a est un multiple de 21 comme a = 14, et que d est un
multiple de de 21 comme d=6, chacun ayant un facteur de 21 ,
leur somme A + d est égale à :
13x14x15 + 6 = 2730 + 6 = 2736 = 16x271, avec en facteur un 2
à la puissance 4
Mais l'objet de cet article est de montrer que l'équation (1) est
modulaire, en se servant de son équivalente (2) et on va faire au plus
simple, en partant des quantités A,B,C et d étant toutes multiples de 8.
Dressons une liste des premiers entiers dans une première colonne, en
faisant apparaître à quelle puissance de 2 se trouvent les nombres
pairs ; mettons les dans 4 colonnes côte à côte pour gagner de la place:
1 21 41 61
2 = 21 22 = 21 x 11 42 = 21x21 62 = 21 x 31
3 23 43 63
4 = 22 24 = 23 x 3 44 = 22 x11 64 = 26
5 25 45 65
6 = 21 x3 26 = 21 x 13 46 = 21 x 23 66 = 21 x 33
7 27 47 67
8 = 23 28 = 22 x 7 48 = 24 x 3 68 = 22 x 17
9 29 49 69
10 = 21 x 5 30 = 21 x 15 50 = 21 x 25 70 = 21 x 35
11 31 51 71
12 = 22 x 3 32 = 25 52 = 22 x 13 72 = 23 x 9
13 33 53 etc.
14 = 21 x 7 34 = 21 x 17 54 = 21 x 27
15 35 55
16 = 24 36 = 22 x 9 56 = 23 x 7
17 37 57
18 = 21 x 9 38 = 21 x 19 58 = 21 x 29
19 39 59
20 = 22 x 5 40 = 23 x 5 60 = 22 x 15
On constate une répétition de mêmes puissances de 2 lorsque les
entiers augmentent de 1.
Les puissances de 2 forment une suite régulière
[1-2-1-3 1-2-1-4 1-2-1-3 1-2-1-] qui se renouvelle, entrecoupée
des puissances donnant des multiples de 16 (32,64,etc) :
1-2-1-3 1-2-1-4
1-2-1-3 1-2-1-5 (32)
1-2-1-3 1-2-1-4
1-2-1-3 1-2-1-6 (64)
1-2-1-3 etc.
Observons jusqu'à 128, en omettant les nombres impairs de la liste :
74 = 21 x 37
76 = 22 x 19
78 = 21 x 39
80 = 24 x 5
82 = 21 x 41
84 = 22 x 21
86 = 21 x 43
88 = 23 x 11
90 = 21 x 45
92 = 22 x 23
94 = 21 x 47
96 = 25 x 3
98 = 21 x 49
100 = 22 x 25
102 = 21 x 51
104 = 23 x 13
106 = 21 x 53
108 = 22 x 27
110 = 21 x 55
112 = 24 x 7
114 = 21 x 57
116 = 22 x 29
118 = 21 x 59
120 = 23 x 15
122 = 21 x 61
124 = 22 x 31
126 = 21 x 63
128 = 27
En reprenant la liste des puissances de 2 depuis le début des
nombres entiers pairs jusqu'à 128, on obtient les séquences :
1-2-1-3 1-2-1-4
1-2-1-3 1-2-1-5 (1x32)
1-2-1-3 1-2-1-4
1-2-1-3 1-2-1-6 (64=2x32)
1-2-1-3 1-2-1-4
1-2-1-3 1-2-1-5 (96=3x32)
1-2-1-3 1-2-1-4
1-2-1-3 1-2-1-7 (128=4x32=27)
On peut dés lors déduire le restant de la suite, avec des valeurs
repères entre parenthèses :
1-2-1-3 1-2-1-4 (144=24x9)
1-2-1-3 1-2-1-5 (160=5x32=25x5 )
1-2-1-3 1-2-1-4
1-2-1-3 1-2-1-6 (=192=6x32=3x64=3x26)
1-2-1-3 1-2-1-4
1-2-1-3 1-2-1-5 (224=7x32=7x25)
1-2-1-3 1-2-1-4
1-2-1-3 1-2-1-8 (256=8x32= 28)
etc.
Nous avons vu précédemment que l'équation a3 + b3 = c3 (1)
entrainait la condition a+b = c+d.
On a posé aussi que chacun des quatre nombres A,B,C et d peut être un
multiple de 8.
a ayant été posé pair doit donc être un multiple de 8 car a est entouré,
dans la suite des nombres entiers, de deux nombres impairs :
A = (a-1)a(a+1)
b et c sont impairs, entourés chacun de deux nombres pairs consécutifs :
B = (b-1)b(b+1) et C = (c-1)c(c+1)
d doit être un multiple de 8. Comme d est déjà un multiple de 6, sa
plus petite valeur est 24. Donc a > 24 ; Posons a=40, valeur qui est
un multiple de 8 supérieur à 24.
b = 43 ferait l'affaire, car b-1= 42=2x21 et b+1=44=4x11 donne B
multiple de 8.
Comme a - d = c - b , condition déduite de a +b = c + d, on a :
a - d = 40 - 24 = 16
alors c - b = 16, soit c = b + 16 = 43 + 16 = 59, et C = (c-1)c(c+1)
est bien un
multiple de 8 car c-1 = 58 = 2x29, et c+1 = 60 = 4x15
Ce quadruplet (a b c d) vérifie la condition a+b=c+d et A, B, C et d
multiples de 8.
Il y a d'autres quadruplets possibles que (40 43 59 24) :
(56 59 91 24) , (64 67 107 24) , etc.
(Bien sûr, aucun ne vérifie a3 + b3 = c3 (1))
Essayons avec a = 56, et b = 67 qui vérifie
B= 66x67x68 = (2x33) x 67 x (4x17), qui est bien un multiple de 8
Penons d = 48 Alors a - d = 8 donc c - b = 8 = c - 67, donc c = 75
On obtient le quadruplet (56 67 75 48)
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