Une question ... en passant.

  Tenons le raisonnement inverse de celui de Fermat :

Si a³ + b³ = c³, équation (1), à quoi alors peut être égal a² + b² , équation (2) ?

   Cela faisait quelques temps que je m’étais posé la question, sans

 pouvoir la mettre sous forme d’équation.

    Il y a deux jours j’ai trouvé l’astuce et le raisonnement : 

   Comment, à partir de a² + b² , arriver à  a³ + b³ , et de là  à  c³  ?

Multiplions simplement  a² + b²  par  (a + b) :

    (a² + b²)(a + b) = a³ + a²b +b²a + b³ = a³ + b³ + ab(a + b)

                              = c³ + ab(a + b)

Soit, après division par a + b :

      a² + b² = ab  +  c³ /(a + b)   (3)   Donc si  a² + b² existe, il faut au moins que le

 rapport   c³ /(a + b)   soit un nombre entier.

       On peut encore écrire, puisque on a toujours la condition        

 a + b = c + d , avec 0 < d < a < b < c , nombres entiers  :

 (a + b)² – 2ab = ab + c³ /(a + b)

Soit  :  (c + d)² – 2ab = ab + c³ /(c + d)

            (c + d)²  = 3ab + c³ /(c + d)  (3)’

En utilisant l’identité remarquable :  c³ + d³ = (c + d)(c² - cd + d²) , on

 déduit que  c³ = (c + d)(c² - cd + d²) – d³  , et (3)’ devient :

         (c + d)² = 3ab + [(c + d)(c² - cd + d2) - d³] /(c + d)

         (c + d)² = 3ab + c² - cd + d² – d³/(c + d)

On peut écrire que  c² - cd + d² = (c + d)² - 3cd   et l'équation ci-dessus devient :    

         (c + d)² = 3ab  + (c + d)² – 3cd - d³ /(c + d), soit encore, après la

 simplification de  (c + d)²  présent des deux côtés de l'égalité :

               3ab – 3cd  -  d³ /(c + d) =  0  (3'')

soit en divisant par 3  :

               ab - cd = d³ /3(c + d)  (3)’’'

 Il faut déjà que le rapport  d³ /3(c + d)  soit un entier 

  1^er cas :  d³ /3(c + d) est supérieur à  1

 (l'étude de ce point est toujours en cours )

        

 2^nd cas  : d³ /(c+d)  = 1

        Alors  (3)’’    s’écrit :

                  3ab – 3cd = 1 ,  soit

                  3(ab - cd) = 1 ,  qui est impossible, un multiple de 3  ne pouvant être

 égal à 1.                                                                                                                                                                                                         

         Dernier cas :   d³ /(c+d)  est inférieur à  1 

         Alors  (3)''  n'a pas de solution dans IN.