Remarque ...
Cette remarque ne comporte quasiment aucun calcul car elle porte
sur la structure classique des polynômes.
Essayons de ne pas rentrer dans la résolution algébrique de
a3 + b3 = c3
équation (1), avec 0 < a < b < c , tous entiers naturels.
Cependant modifions un peu l'équation (1) .
Comme c > b, il existe m entier non nul, avec 0 < m < c -1 ( b >1
car la plus petite valeur de a est a = 1, et b différent de c , on peut
poser :
b = c - m , et (1) devient :
a3 = c3 – b3 = c3 – (c – m)3
= c3 - ( c3 – 3c2m + 3cm2 – m3)
soit :
a3 = 3c2m - 3cm2 + m3 (2)
On constate que 3c2m - 3cm2 + m3 est un polynôme du second degré
en c... apparemment, car m est fonction de c. C'est donc un polynôme
du 3ème degré
Maintenant transformons la variable a en l'écrivant en fonction de c.
Comme a < c, il est loisible d'écrire qu'il existe x entier non nul tel
que
a = c – x , avec 1< x < c -1 , et (2) devient :
(c – x)3 = 3c2m - 3cm2 + m3 (3)
Nous avons encore là une autre forme de l'équation (1) de base après
un changement de variables.
Observons cette équation sans la transformer davantage.
3c2m - 3cm2 + m3 est un polynôme du 3ème degré; de plus le
coefficient du terme de degré 0 en c égale à m3 est différent de zéro
(car c différent de b)
On constate que si (c – x)3 = c3 – 3c2x + 3cx2 – x3 , alors
c3 – 3c2x + 3cx2 – x3 est un polynôme du troisième degré en c
très classique, avec c3 de coefficient 1 et le
coefficient du terme de degré 0 en c égale à -x3 différent de zéro.
L'équation de base qu'on étudie impose à ces polynômes d'être égaux.
c-x est un monôme qui doit diviser le polynôme toujours positif
3c2m - 3cm2 + m3 qui s'écrit aussi m(3c2 - 3cm + m2)
Mais, à ce stade, c-x peut-il diviser m en partie, et diviser aussi
en partie 3c2 - 3cm + m2 ?
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