Essayons une approche !

 

    Bonjour    

Comme je désire que mon travail soit facilement accessible, j'utilise des

 symboles et des conventions mathématiques de base.

IN  est l'ensemble des nombres entiers positifs, soit : 0,1,2,3, etc. jusqu'à l'infini.

<   signifie '' inférieur à '' 

>  signifie " supérieur à "

ab  signifie le nombre  a  multiplié par le nombre  b

2.3  signifie 2 multiplié par 3

2b  signifie 2 multiplié par b

a/2b signifie  a  divisé par 2b

2³  signifie 2 à la puissance 3, soit 2 fois 2 fois 2, ce qui est égal à  8

a²  signifie  a  à la puissance 2, soit  a  multiplié par  a

(a + b)³  signifie (a + b)  à la puissance trois, soit : 

                           (a + b) multiplié par (a + b)  multiplié par (a + b)   

                                            Étude du cas n = 3  

                                     du Grand Théorème de Fermat      

                                      (avec la méthode "par a + b" )

        Par hypothèse on est dans IN, et  0 < a < b < c  

 Partons cette fois de l’équation

              a³ + b³ = c³   équation (1)    en remarquant que   (a + b)³ est plus grand

 que c³  puisque   (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = c³ + 3a²b + 3ab² 

Donc  a + b est plus grand que  c.  Donc il existe  d  entier non nul  tel que

             a + b = c + d   équation (2) 

         (Remarque : d  est toujours pair)

Élevons au cube les deux membres de (2) :

           (a + b)³ = (c + d)³  ,  soit :  a³ + 3a²b + 3ab² + b³  =  c³ + 3c²d + 3cd² + d³  

Et après simplification selon (1) :

            3c²d + 3cd² + d³  =   3a²b + 3ab² 

En retranchant le second membre du premier et en mettant en facteur  a + b  et 

 c + d  on obtient :

            3cd (c + d) + d³  -  3ab (a + b) = 0

Et comme  a + b = c + d, on obtient  :

            3cd (c + d) + d³ - 3ab (c + d) = 0 ,

On constate que le produit 3(c + d) divise  d³  puisque ce produit fait partie de

 deux des trois membres de l’égalité.

Après division et simplification on obtient :

            cd + d³/3(c + d) - ab  =  0   équation (3)

    Donc le rapport  d³ / 3(c + d) , noté (4) ,  doit appartenir à IN

  -  Si ce rapport est supérieur à  1 , alors au minimum il ne peut rester

      au numérateur qu'un facteur premier appartenant à  d  

           

  [ L'étude est toujours en cours.

  Lorsqu'on remplace  a, b et c par leur valeur respective d+x, d+y et d+x+y   on

 trouve que ce rapport est égal à xy 

En effet, selon  (3)  ci-dessus :

 d³/3(c + d) = ab - cd = (d+x)(d+y) – (d+x+y)d

= (d² + dy + xd + xy ) - (d² + dx + dy)

= xy

                d³/3(c + d) = xy   (4')

Cette équation est probablement modulaire car d est un multiple de 6 ]

                                                 --------------------   

   On constate, dans    d³/3(c + d) = xy   (4') , que : 3,  c + d,  x et y  sont des

 diviseurs de  d³

Donc x et y ne sont pas premiers avec d.

  Cela implique que  a = d + x  n'est pas premier avec x, puisque d et x, ayant un

 facteur premier commun, imposent à   a    de posséder ce même facteur premier.

  De la même manière b = d + y n'est pas premier avec y  

 Pour que a et b soient premiers entre eux il faut que x et y soient premiers

 entre eux.

 Dès lors  x + y  est premier avec  x  et avec  y.

 On constate dans (4') que  c + d divise  d³   . Donc c et d ne sont pas premiers

 entre eux, ils ont un diviseur commun. Comme  a, b et c  sont premiers entre eux

 deux à deux, d comporte au moins 3 facteurs premiers différents.

 Or  c + d =  (d + x + y) + d  = 2d + x + y , divisant   d³  

  Et comme 2 est un facteur premier de  d  (d qui est toujours pair) on peut

 affirmer que   x+y  et  d  ont au moins le facteur premier 2 en commun lorsque  x et

 y sont impairs. 

  Le point le plus complexe à étudier est la  condition que les facteurs premiers de 

  c + d doivent appartenir à  d, et cela est complexe car il s'agit d'une somme.

              

   Le ou les facteurs premiers (à la puissance 1) de  2d + x + y appartiennent donc

 à  d³   et  donc  à  d  pour que l'équation d³/3(c + d) = xy  soit possible.

                                            ----------------- 

    D'un autre côté j'ai réussi à solutionner cette partie de l'étude  où  x + y

 = kd   avec k entier différent de 0, montrant que  d³/3(c + d) = xy   (4') est alors

  impossible.

On a en effet  x+y = kd  (5)  et   d³/3(2d+x+y) = xy  (4')

(4') s'écrit encore : d³/3(2d + kd) = d³/3d(2 + k) , soit après simplification par d 

dans le premier membre :

  d² /3(2 + k) = xy, soit :

  d² = 3(2 + k). xy

On a donc un système de deux équations :

       d² = 3(2 + k). xy  (4'')

et     x+y = kd  (5) 

Élevons (5) au carré. Cela nous donne   (x+y)² = k²d²  (5')   Alors on a les deux

 équations :

       d² = 3(2 + k). xy  (4'')

   et

       (x+y)² = k²d²  (5')

 En remplaçant   d²  dans (5')  par sa valeur prise dans (4'') , on obtient :

     (x+y)² =  k²d²  =  k² .3(2 + k). xy   (6) 

        Le second membre de  (6),  k² .3(2 + k). xy  , est un produit de facteurs.

      Cela signifie que le produit  xy  diviserait le premier membre (x+y)²

         Mais c'est impossible car le produit  xy est premier avec  x+y

                                                        ---------------

  De cela il découle que si  x+y = kd + 1 , ou kd -1, les sommes  2d + x + y =

 2d + kd + 1  et  2d + kd - 1 sont premières avec d, et ne peuvent diviser  d³  

                                          -----------

  On peut constater aussi que si x+y = kd + 2, alors la somme  c + d =

2d + x+y = 2d + kd + 2 n'est pas un multiple de 3 car  2d + kd le sont déjà vu que d

 est un multiple de 6 ; et  comme x + y ne peut être égal à 2, k doit bien être

 supérieur à 0

   Même situation si  c + d = 2d + kd - 2 , avec k supérieur à 0 car

 kd - 2 = x + y ne  peut être négatif.  (Étude par rapport aux congruences en cours) 

 

                                           ----------- 

    Dans le but d'y voir plus clair, prenons un exemple simple :

      d = 6 , constant ; x partant de 1  et y partant de 2. 

 Les conditions de base doivent être remplies, car  x  et  y divisent   d³  , ce qui est

 imposé, en première constatation, par l'égalité      d³/3(c + d) = xy   (4')

  Regardons maintenant dans les colonnes ci-dessous ce qui se passe lorsque la

 somme  x+y  varie

(Constatons que  d³/3 = 216/3 = 72, et donc  2d+x+y ne peut excéder  36, car le

    rapport  d³/3(2d+x+y)  serait inférieur à 2 alors que le produit xy ne peut être

 inférieur  à 2)

 lignes      x+y     et     2d+ x+y           Observations

   (a)          3                    15        Comme 15 = 3x5 ne divise pas 72, situation

                                                        impossible (Lorsque x=1, 1 n'étant

                                                      pas un nombre premier, 1 et y ne sont pas       

                                                     premiers entre eux ; les cas où x = 1 nécessitent

                                                    une étude  particulière)                                           

   (b)          4                    16        Seul les cas x=1 et y=3 sont possibles, x et

                                                      y ne pouvant tous les deux être pairs ou égaux 

                                                      entre eux.  Mais  2d+x+y = 16 = 2⁴  ne peut

                                                       diviser 72 = 2³ . 3²

  (c)          5                     17        17 ne divise pas 72 ; de plus 5 = 6-1

  (d)          6                     18        Seul couple possible : x=1 et y=5 puisque (2,4) et

                                                        (3,3) sont des couples (x,y) impossibles. Mais

                                                         y=5 est premier avec 72.   De plus dans ce cas

                                                        x + y est égal à 1.6,  donc (4') impossible

                                                                                                    

  (e)          7                      19        19 ne divise pas 72 ; de plus 7 = 6 + 1

  (f)           8                      20         20 = 4x5  ne divise pas 72

  (g)          9                      21         21 = 3x7  ne divise pas 72

  (h)          10                    22         22 = 2x11 ne divise pas 72

  (i)           11                    23          23 ne divise pas 72 ; de plus 11 = 2x6  - 1

  (j)           12                    24          Seuls couples possibles : (1,11) et (5,7), mais ni

                                                         5 ni 7 ni 11  ne divisent   6³ . Les autres 

                                                         couples sont impossibles : (2,10), (4,8) sont

                                                          composés de nombres pairs ; et dans le 

                                                         couple (3,9)  x et y ne sont pas premiers entre 

                                                          eux ; et 12 et un multiple de 6  

  (k)          13                    25         25=5x5 ne divise pas 72 car 13 = 2x6 + 1

  (l)           14                    26         26=2x13 ne divise pas 72

  (m)         15                    27        À  x+y = 15 correspondent les couples (1,14),

                                                      (2,13), (4,11), (7,8) ;  les nombres 14 (= 2x7), 

                                                      13, 11 et 7 ne divisent pas 72

                                                    Dans les couples (3,12), (5,10) et (6,9),  x et y ne 

                                                     sont pas premiers entre eux.  Ainsi, pour la

                                                    somme  x+y =15  il n'existe aucune couple (x,y)

                                                    où   x et y  divisent chacun d³                                

  n           16                   28         28 = 4x7 ne divise pas 72

  o           17                   29        29 ne divise pas 72 , quels que soient  x ou y car

                                                      17 = 3x6 - 1

  p           18                   30         30 = 5x6 ne divise pas 72 ; Dans les couples

                                                     (1,17), (5,13),  (7,11) ni x ni y ne divisent  d³ ; 

                                                     Dans le couple (3,15)  x et y ne sont pas premiers

                                                       entre eux. Et 18 est multiple de 6

  q           19                   31         31 (premier) ne divise pas 72 ; et 19 = 3x6 + 1

  r            20                   32         ni 20 ni 32 ne divisent 72 puisque la somme

                                                  32 = 2⁴ ne peut diviser le 2³ de d³ ;  les couples

                                                   pour lesquels la somme x+y = 20 sont  (1,19),

                                                     (3,17), (7,13), (9,11)                                 

  s           21                   33          33 = 3x11 ne divise pas 72

  t            22                   34         ni 34=2x17 ne divise pas 72

  u           23                   35         ni 35=5x7 ni 23 ne divisent 72, car 23 = 4x6 - 1

  v           24                   36         x et y sont impairs. Leurs couples sont (1,23),

                                                     (5,19), (7,17), (11,13). Hormis 1, aucune des

                                                     valeurs précédentes ne divise 72. Dans les

                                                     couples (3,21), (9,15), x et y sont multiples de 3 et

                                                     donc non premiers entre eux.

                                                    De plus le rapport  d³/3(2d+x+y)  = 72/36 = xy =2

                                                  qui impliquerait le couple x=1, y=2, mais on

                                                  est en train de traiter le cas où x+y = 24 , et 24

                                                    est un multiple de 6

         Donc pas de solution à l’équation de base (4’) dans cet exemple.

       Lorsqu'on analyse tableau ci-dessus, on voit que si x et y sont

 premiers entre eux, alors x+y est premier avec le produit xy.

 De plus, dans le cas des lignes  (b)  et  (m)  ci-dessus, on voit que  2d+x+y  égale

 une puissance d'un des facteurs premiers de d ; cependant cette puissance est

 trop grande pour diviser  d³ .

   (étude au 22/07/2023)

                                                            -----------

  On a donc établi que la somme x + y, qui au minimum vaut 3, ne peut prendre les

 valeurs suivantes :  5,6,7,  11,12,13,  17,18,19,  23,24,25 etc. pour ce qui concerne

 la possibilité de division de  d³ par  2d + x + y  dans IN

     (Cette équation de base (4), ou sous la forme (4'), est difficile à pénétrer.

 Je procède donc par observations successives pour arriver tôt ou tard à une synthèse finale).

                                               ------------

    Maintenant abordons les bizarreries du tableau :

 Ligne (b) avec  le couple (x=1, y=3)   Dans ce cas  y et x ne sont pas premiers

  entre eux car 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.

   On a alors   d³/3(c + d) = xy   (4') qui s'écrit

         d³/3(c + d) = 1.3   , soit  d³  = 3.3(c+d) = 3.3(2d+x+y) = 9(2d + y +1) 

où  (2d + y +1) est ici premier avec 3. De plus le produit  9 (2d + y +1) doit être un

 cube, ce qu'il n'est pas puisque 9 n'est pas un cube.    

  Ce cas est spécial, car  si x=1 et y =3, d=6,  2d+y+1 = (2.6 + 3 + 1) = 16 = 2⁴

  qui n'est pas premier avec d=6, mais 2⁴ ne divise pas  d³  = 6³ = 2³3³ 

Ligne (m)  où  2d+x+y = 27 = 3³ , et où  x + y = 15  Comme il y a déjà un 3 au 

 dénominateur, ce dernier possède maintenant un  3⁴  qui ne peut diviser le  3³ du 

  numérateur. 

Ligne (r) : voir la note dans le tableau

   Ainsi la quantité  2d+x+y peut comporter au moins un facteur premier

commun avec d , en excluant x=1 

   Mais comme x et y , premiers entre eux, peuvent être chacun égaux à des

 produits illimités de nombres premiers à n'importe quelle puissance,

 cette approche montre ses limites.

                                                

                                                 ----------------

 

     -  Si ce rapport  d³/3(c + d)  est inférieur à 1, l'étude serait terminée, et 

le cas n = 3 démontré

     -  Cas où  d³/3(c + d) = 1 

  Revenons alors à l'équation  (3) :

                       cd + d³/3(c + d) - ab = 0 ,  où le rapport  d³/3(c + d) est égal à 1

On a alors à résoudre le système d'équations :

                       cd + 1  =  ab   (3)'

                       a + b = c + d   (2)

      Remarquons dans (2) que  d  est inférieur à  a  puisque  c  est supérieur à  b

Cela nous donne donc : 0 < d < a < b < c

Il existe alors des nombres entiers x, y et z  non nuls tels que

a = d + x   ,   b = d + y  et  c = d + z

   selon (3)' on obtient :  (d + z)d + 1 = (d + x)(d + y) 

                                soit  d² + dz + 1  =  d² + d(x + y) + xy  (3)''

et (2) s'écrit  alors , en remplaçant a, b et c par leur valeur :

                d + x  +  d + y  =  d + z  +  d

     soit      x + y = z

      (3)'' s'écrit alors :    d² + d(x + y) + 1 =  d² + d(x + y) + xy    

     soit  après simplifications :            1 = xy      

   Comme on est dans IN, cela impose  x = y = 1

Alors on aurait  a = b , ce qui est impossible, par hypothèse. Et l'égalité (1)

deviendrait  2b³ = c³ , qui n'a pas de solution car  2  n'est pas le cube d'un nombre

 entier.

    (État de l'étude au 02 août 2023)

                                         --------------------- 

Le 04 août 2023 : j'ai réussi à contourner la difficulté de l'étude de l'équation

 modulaire d³/3(c + d) = xy   (4') en en établissant une autre plus simple

 à étudier en un premier temps.