Cas n = 5 , en attendant de trouver une démonstration générale courte ...

    Se servir de  a + b = c + d  permet une approche qui semble répétitive pour chaque valeur

 de  n  premier dans l'équation générale   aⁿ + bⁿ = cⁿ

 Par contre la décomposition de l'équation s'allonge selon que n, premier, croît.

          

         Nous avons donc :

   a⁵ + b⁵ = c⁵  (1)  et  a + b = c + d  (2)   avec  0 < d < a < b < c

Élevons l’égalité (2) à la puissance 5 :

  a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵  =

  c⁵ + 5c⁴d + 10c³d² + 10c²d³ + 5cd⁴ + d⁵   et après simplifications de

a⁵ + b⁵ = c⁵       on a : 

5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴  =  5c⁴d + 10c³d² + 10c²d³ + 5cd⁴ + d⁵   

 Puis, après la mise en facteurs des produits  ab  et  cd,  on obtient  :

5ab (a³ + 2a²b + 2ab² + b³) = 5cd (c³ + 2c²d + 2cd² + d³) + d⁵   (2)’

     On peut constater, entre les parenthèses ci-dessus, deux développements incomplets des

 cubes de   a+b  et  de c+d

   En effet,  (a+b)³  =  a³ + 3a²b + 3ab² + b³       

Donc  a³ + 2a²b + 2ab² + b³   peut s'écrire  (a+b)³ - 1( a²b + ab² )  =  (a+b)³ - ab(a+b)

   

 Alors (2’) peut s’écrire :

5ab [(a+b)³ – ab(a+b)] = 5cd [(c+d)³ – cd(c+d)] + d⁵

     On peut mettre en facteur les quantités  a+b  et  c+d , pour obtenir

5ab(a+b) [(a+b)² – ab] = 5cd(c+d) [(c+d)² – cd] + d⁵  et

   comme a+b = c+d, on obtient :

5ab(c+d)[(c+d)² – ab] = 5cd(c+d) [(c+d)² – cd] + d⁵  (3)

    On constate que le produit de facteurs  5(c+d)  est présent dans deux des trois membres

 de l’égalité (3), donc il divise le dernier membre  d5

   Donc  le rapport  d⁵ /5(c+d) (4)  doit être un entier supérieur ou égal à 1

Si  le rapport  d⁵/5(c+d) est supérieur à  1 , alors on retrouve une situation similaire à celle

    trouvée   dans le cas n = 3 , déjà abordée   (étude en cours).  

 

   Il reste aussi à traiter le cas où le rapport  d⁵ /5(c+d)  est égal à 1 ; la situation  est 

plus complexe que pour le cas n = 3  mais on retrouve la même équation de base.

   On a trouvé en  (3)  5ab(c+d)[(c+d)² – ab] = 5cd(c+d) [(c+d)² – cd] + d⁵ 

 On a donc, après division par 5(c+d) et en remplaçant le rapport par sa valeur de 1 :

                       ab[(c+d)² – ab] = cd[(c+d)² – cd] + 1

 On peut encore écrire cette équation ainsi :

              (c+d)² (ab - cd) = a²b² – c²d² + 1

    soit    (c+d)² (ab - cd) = (ab – cd)(ab + cd) + 1

 Comme le facteur (ab – cd) est commun aux deux premiers membres de l’équation, il doit

 diviser le troisième qui est  1

 On obtient (comme précédemment dans le cas n=3) l’égalité :   ab – cd = 1 , égalité traitée 

 en posant a = d + x, b = d + y , c = d + z , et qui conduit à l'égalité a = b , laquelle est

 impossible.

    (L'étude du cas n = 5 n'est pas terminée)